Lektionsplanering

Årskurs: Gymnasiet
Ämne: Matematik 1c
Tema: Ökande och avtagande funktioner

Koppling till styrdokument

Centralt innehåll

Undervisningen ska fokusera på att analysera och tolka funktioners beteenden, inklusive kriterier för ökande och avtagande funktioner, samt hur dessa kan representeras grafiskt. Eleverna ska också lära sig att använda första derivatan för att bestämma när en funktion är ökande respektive avtagande.

Kunskapskrav

Eleven visar förmåga att identifiera och analysera funktioners beteenden, samt att tillämpa matematiska begrepp och samband i olika sammanhang. Eleven kan lösa varierade problem och resonera om funktioners egenskaper och grafiska representation.

Lärarledda instruktioner

Introduktion till ökande och avtagande funktioner (10 min)

Förklara vad det innebär för en funktion att vara ökande eller avtagande.

Ge exempel på funktioner som kan beskrivas som ökande och avtagande, inklusive linjära och icke-linjära funktioner.

Diskutera hur den grafiska representationen av en funktion kan användas för att bedöma dess beteende.

Första derivatan och dess betydelse (15 min)

Introducera begreppet första derivata och dess betydelse för att analysera funktioners beteenden.

Förklara hur man beräknar den första derivatan och vad derivatans tecken visar om en funktions ökande eller avtagande egenskaper.

Ge exempel på derivata av olika typer av funktioner och tolka dessa.

Grafisk analys av funktioner (15 min)

Visa hur man grafiskt kan identifiera ökande och avtagande intervall på en funktions graf.

Använd ett digitalt verktyg för att demonstrera hur derivatan av en funktion påverkar dess grafiska representation.

Diskutera hur funktioners maximi- och minimipunkter kan identifieras genom att analysera derivatan.

Övningsuppgifter och reflektion (10 min)

Ge eleverna uppgifter där de ska analysera olika funktioner och bestämma intervallen där funktionerna är ökande och avtagande.

Låt eleverna arbeta i par för att diskutera sina resultat och ställa frågor.

Avsluta lektionen med en sammanfattning av begreppen.

Aktivitet

Eleverna ska i grupper om tre skapa en presentation där de analyserar och jämför två olika funktioner. De ska bestämma och beskriva intervallen där funktionerna är ökande och avtagande, inkludera grafiska representationer och använda första derivatan för att stödja sina analyser.

Beräknad tidsåtgång: 30 minuter

Exit-ticket

Vad kännetecknar en ökande funktion? Svar: En funktion är ökande om dess y-värde ökar när x-värdet ökar, vilket innebär att dess derivata är positiv.

Vad innebär det att en funktion är avtagande? Svar: En funktion är avtagande om dess y-värde minskar när x-värdet ökar, vilket innebär att dess derivata är negativ.

Hur kan första derivatan användas för att bestämma om en funktion är ökande eller avtagande? Svar: Genom att beräkna första derivatan, om den är positiv för ett intervall, är funktionen ökande där; om den är negativ, är funktionen avtagande.

Vad beskriver maximi- och minimipunkter? Svar: Maximi- och minimipunkter representerar funktionens högsta och lägsta värden, som uppstår vid övergången mellan ökande och avtagande.

Ge ett exempel på hur man kan använda en graf för att identifiera om en funktion är ökande eller avtagande. Svar: Genom att observera lutningen av tangenter på grafen, där en positiv lutning betyder ökande och negativ lutning betyder avtagande.

Hemläxa

Eleverna ska lösa ett antal problem där de analyserar olika funktioner, beräknar deras första derivata och identifierar intervallen för ökande och avtagande beteende. Uppsatsen ska skrivas på 200 ord med tydliga arbetssteg.

Fördjupningsuppgift

Eleverna ska välja en komplex funktion, som en trigonometrisk eller rational funktion, och utföra en fullständig analys av dess ökande och avtagande intervall samt maxima och minima. Rapporten ska inkludera grafiska illustrationer och en tydlig redogörelse för analyssteget. Syftet med uppgiften är att ge eleverna utrymme att bevisa sin djupa förståelse av derivatans tillämpningar.

Förslag för nästa lektion

Kurvor och derivator. I nästa lektion föreslås att vi fokuserar på kurvors egenskaper och deras samband med derivator, där eleverna får möjlighet att fördjupa sig i hur man använder derivatan för att analysera funktioners sammanhang och skärningspunkter. Lektionen kommer att bygga på allt vi diskuterat om ökande och avtagande funktioner och knyta det till konkreta problem och situationer.

Förberedelser

Samla in exempel och uppgifter på funktioner som kan analyseras för att bestämma ökande och avtagande beteende.

Förbereda digitala verktyg för att illustrera grafer och derivator.

Utveckla material och resurser för hemuppgiften och fördjupningsuppgiften.