Lektionsplanering

Årskurs: Gymnasiet
Ämne: Matematik 3B
Tema: Användning av differentialekvationer för att beskriva förändring

Koppling till styrdokument

Centralt innehåll

Undervisningen ska omfatta differentialekvationer, deras lösningar och tillämpningar inom olika områden som naturvetenskap och teknik. Eleverna kommer att lära sig att formulera och lösa enklare differentialekvationer samt förstå hur dessa kan användas för att modellera dynamiska system och förändringar över tid.

Kunskapskrav

Eleven kan formulera och lösa enklare differentialekvationer. Eleven kan också tillämpa dessa kunskaper i praktiska situationer och analysera resultatet av modeller som beskriver dynamiska system.

Lärarledda instruktioner

Introduktion till differentialekvationer (10 min)

• Förklara vad en differentialekvation är och dess betydelse i matematik och tillämpningar.
• Dela in dem i två huvudtyper: ordinära och partiella differentialekvationer, och ge exempel på varje typ.

Genomgång av första ordningens differentialekvationer (15 min)

• Presentera hur man formulerar och löser första ordningens differentialekvationer, i synnerhet separabla differentialekvationer.
• Demonstrera genom ett konkret exempel, t.ex. tillväxt av en befolkning eller en kemisk reaktion, där eleverna får se hur man ställer upp och löser en differentialekvation analytiskt.

Tillämpningar av differentialekvationer (15 min)

• Diskutera olika praktiska tillämpningar av differentialekvationer i exempelvis fysik (rörelse och hastighet), biologi (populationsmodeller), och ekonomi (t.ex. räntemodeller).
• Visa hur differentialekvationer kan hjälpa till att förstå och förutsäga beteendet hos dynamiska system.

Praktisk tillämpning och problemlösning (5 min)

• Dela ut uppgifter där eleverna ska formulera och lösa en enkel differentialekvation baserad på en given scenarie (exempelvis tillväxt av en population eller avtagande temperatur).
• Eleverna ska samarbeta i grupper för att lösa och diskutera sina metoder.

Sammanfattning och frågor (5 min)

• Sammanfatta lektionens centrala punkter med fokus på förståelsen av differentialekvationer och deras praktiska betydelse.
• Låt eleverna ställa frågor för att klargöra eventuella oklarheter.

Aktivitet

Eleverna får i uppdrag att formulera och lösa en differentialekvation relaterad till en verklig situation (t.ex. befolkningsökning, avkylning av en värmeledare). De ska presentera sina lösningar och förklara de matematiska stegen samt tolkningen av resultaten i kontexten av det problem de analyserar. Beräknad tidsåtgång: 20 minuter

Exit-ticket

• Vad är en differentialekvation?
Svar: En differentialekvation är en ekvation som involverar derivator av en funktion och beskriver hur funktionen förändras med avseende på en eller flera variabler.

• Vad innebär det att en differentialekvation är separabel?
Svar: En differentialekvation är separabel om den kan skrivas i form där alla termer som involverar en variabel kan separeras på ena sidan och alla termer som involverar den andra variabeln på andra sidan.

• Ge ett exempel på en praktisk tillämpning av en differentialekvation.
Svar: Modellerar populationstillväxt där hastigheten av tillväxt beror på den nuvarande populationen.

• Hur löser man en första ordningens differentialekvation?
Svar: Genom att separera variablerna och integrera båda sidor, vilket ger en lösning som beskriver förhållandet mellan variablerna.

• Varför är differentialekvationer viktiga inom vetenskap och teknik?
Svar: De används för att modellera och analysera system som förändras över tid, vilket är avgörande för att förstå och förutsäga beteenden inom olika områden, inklusive fysik, biologi och ekonomi.

Hemläxa

Eleverna ska skriva en rapport (300-400 ord) där de analyserar en situation som kan beskrivas med en differentialekvation, formulerar ekvationen och beräknar en lösning. Rapporten ska innehålla en diskussion av resultaten och hur de relaterar till den situation de studerat.

Fördjupningsuppgift

Eleverna ska utföra en mer omfattande analys av en valfri differentialekvation, hitta både analytiska och numeriska lösningar, och diskutera resultatens tillämplighet i en verklig situation. De ska inkludera grafer och jämföra analytiska och numeriska lösningar i sin rapport.

Förslag för nästa lektion

System av differentialekvationer
I nästa lektion planeras fokus på hur man hanterar system av differentialekvationer, inklusive både linjära och icke-linjära system. Detta ger eleverna verktyg för att analysera mer komplexa dynamiska system.

Förberedelser

• Förbereda exempel och uppgifter relaterade till lösning av differentialekvationer.
• Säkra tillgång till verktyg för grafisk representation av differentialekvationer.
• Dela ut hemläxan med klara instruktioner och tidsramar.