Provkonstruktion
Årskurs: Gymnasiet
Ämne: Matematik 3b
Tema: Differentialekvationer: grundläggande begrepp
Syfte
Syftet med provet är att bedöma elevernas förståelse och kunskap om grundläggande begrepp inom differentialekvationer samt deras förmåga att tillämpa dessa i praktiska och teoretiska sammanhang.
| Centralt innehåll | Betygskriterium (E) |
|---|---|
| Begreppet differentialekvation och exempel på tillämpningar. | Eleven beskriver grundläggande begrepp och samband mellan begrepp samt använder dem med tillfredsställande säkerhet. |
(Gy11, Kursplan Matematik 3b)
Prov
Faktafrågor
Antal poäng: 15
- Vad är en differentialekvation?
- A) En ekvation med en variabel
- B) En ekvation som involverar derivator
- C) En algebraisk ekvation
- Vilken typ av lösning söker vi för en linjär differentialekvation?
- A) Exakt lösning
- B) Approximativ lösning
- C) Partikulär lösning
- Vad representerar den homogena delen av en differentialekvation?
- A) Lösningen till differentialekvationen
- B) De konstanta termerna
- C) Systemets beteende utan externa krafter
- Vilket av följande är ett exempel på en första ordningens differentialekvation?
- A) dy/dx + y = 0
- B) d²y/dx² + y = 0
- C) y” + 3y’ + 2y = 0
- Vad är en primitiv funktion?
- A) En funktion vars derivata är given
- B) En konstant funktion
- C) En funktion av två variabler
- Vilken är den allmänna formen av en linjär differentialekvation av första ordningen?
- A) dy/dx + P(x)y = Q(x)
- B) dy/dx = P(x)y + Q(x)
- C) d²y/dx² + P(x)y = 0
- Vilken metod kan användas för att lösa separerbara differentialekvationer?
- A) Integrering av båda sidor
- B) Använda substitutionsmetoden
- C) Grafisk analys
- Vad är en särskild lösning i kontexten av differentialekvationer?
- A) En lösning som uppfyller initialvillkor
- B) En lösning utan initialvillkor
- C) En approximativ lösning
- Vad används den karakteristiska ekvationen för?
- A) För att lösa polynomekvationer
- B) För att lösa linjära differentialekvationer av andra ordningen
- C) För att analysera stabilitet
- Vilken typ av funktion är en exponentiell lösning till en differentialekvation?
- A) En trigonometrisk funktion
- B) En konstant funktion
- C) En funktion av formen y = Ce^(kx)
Ordkollen
Antal poäng: 10
Beskrivning: Nedan listas ord och begrepp som följs av tre alternativa förklaringar. Du ska ringa in det alternativ som är korrekt.
| Ord/Begrepp | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Differentialekvation | En ekvation med derivator | En ekvation utan variabler | En algebraisk ekvation |
| Homogen | Innehåller inga konstanta termer | Innehåller konstanta termer | En typ av polynom |
| Primitiv funktion | En funktion som beskriver hastighet | En funktion vars derivata är given | En konstant funktion |
| Separerbar | Kan uttryckas som en produkt av funktioner | Är oberoende av variabler | En konstant funktion |
| Partikulär lösning | En allmän lösning av en differentialekvation | En lösning med initialvillkor | En approximativ lösning |
| Karakteristisk ekvation | Används för att lösa polynomekvationer | En ekvation som är identisk med den ursprungliga | En ekvation kopplad till linjära differentialekvationer |
| Initialvärde | Värdet vid startpunkten av en funktion | Värdet av derivatan | Maximivärdet av en funktion |
| Exponentialfunktion | En funktion av formen y = Cx | En funktion av formen y = Ce^(kx) | En konstant funktion |
| Stabilitet | Systemets förmåga att återgå till jämvikt | Systemets förmåga att förändras | En typ av lösning |
| Derivata | En funktion som beskriver förändring | En konstant funktion | En algebraisk operation |
Resonerande frågor
Antal poäng: 20
Beskrivning: Besvara nedanstående frågor så bra du kan. Du kan skriva dina svar på baksidan.
- Förklara hur du skulle gå tillväga för att lösa en linjär differentialekvation av första ordningen. Ange steg och metoder som du skulle använda.
- Diskutera vikten av initialvillkor i samband med differentialekvationer. Hur påverkar de lösningen av en differentialekvation?
- Ge exempel på praktiska tillämpningar av differentialekvationer inom naturvetenskap eller teknik. Hur bidrar de till att beskriva verkliga fenomen?
- Beskriv skillnaden mellan homogena och inhomogena differentialekvationer. Ge exempel på var och hur de används.
Bedömning
Totalt antal poäng: 55
| Betyg | Andel rätt (%) | Antal poäng |
|---|---|---|
| E | 30 | (17) |
| D | 50 | (28) |
| C | 60 | (33) |
| B | 75 | (41) |
| A | 90 | (50) |