“`html
Läxa
Årskurs: Gymnasiet
Ämne eller kurs: Matematik 3c
Tema: Derivata: tillämpningar
Ordkollen
Här listas tio ämnesord på läxans tema som är bra att känna till betydelsen av.
- Derivata: Måttet på hur en funktion förändras, dvs. förändringshastighet.
- Tangent: En linje som berör en kurva vid exakt en punkt.
- Extremvärde: Max- eller minvärde på en funktion inom en given domän.
- Polynom: Ett matematiskt uttryck som består av variabler och konstanter i en summa.
- Gränsvärde: Värdet som en funktion närmar sig när variabeln närmar sig ett visst värde.
- Kontinuitet: Ett begrepp som beskriver om en funktion är oavbruten.
- Primitiv funktion: En funktion vars derivata är den givna funktionen.
- Funktion: En relation mellan två variabler som ofta representeras som y = f(x).
- Ökning: En förändring där värdet av en variabel ökar.
- Minimipunkt: En punkt på kurvan där funktionen har sitt lägsta värde.
Instuderingsfrågor
- Vad definierar en derivata?
- Hur beräknar man derivatan av en konstant funktion?
- Vad är skillnaden mellan en tangent och en sekant?
- Hur kan man bestämma om en funktion har ett extremvärde?
- Vad innebär det att en funktion är kontinuerlig?
- Ge exempel på ett polynom och dess derivata.
- Hur används gränsvärden vid beräkning av derivator?
- Vad är en primitiv funktion och hur relaterar den till derivatan?
- Vilka metoder finns det för att bestämma extremvärden grafiskt?
- Förklara begreppet lokalt minimum.
Övning
Nedan listas uppgifter och fyra svarsalternativ. Du ska ringa in det alternativ som är korrekt. Observera att av de fyra alternativen är endast ett korrekt.
| Uppgift | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Vad är derivatan av f(x) = x²? | 2x | x | x² | 2x² |
| Vad betyder tangentens lutning vid en punkt? | Ändringshastigheten för funktionen | Värdet av funktionen vid den punkten | Förändringen skiljer sig varje gång | Summan av funktionens värden |
| Hur kan man identifiera extrema värden grafiskt? | Genom att se på kurvans lutning | Genom att addera alla värden | Genom att analysera derivatan | Genom att skissa en funktion |
| Vad representerar andraderivatan? | Förändringshastigheten av hastigheten | Funktionen i sig själv | Derivatan av derivatan | Inga av dessa |
| Vilket av följande uttryck är inte ett polynom? | 3x² – 2x + 1 | 5/x | 2x + 7 | -4x³ |
| Vilket av följande är både ett minimum och maximum? | En konstant funktion | En linjär funktion | En exponentialfunktion | Inga av dessa |
| Vad händer med derivatan när funktionen är konstant? | Den är konstant | Den är odefinierad | Den är 0 | Den ökar |
| Vad är ett kritiskt värde? | Värdet där derivatan är 0 eller odefinierad | Värdet där funktionen är 0 | Värdet när tangentens lutning är positiv | Värdet av en punkt där funktionen är minskande |
| Vilken av följande funktioner har en negativ derivata vid x=1? | f(x) = -x | f(x) = 2x | f(x) = x² | f(x) = x³ |
| Vad ger oss extremvärdesmetoden? | Värden för maximala och minimala punkter | Endast de negativa värdena | En medelvärdesfunktion | Tidigare och senare värden |
Skrivuppgifter
Skrivuppgift 1: *Analysera en funktion*
Beskriv grafiskt och matematiskt hur du kan bestämma extremvärdena för en given funktion. Använd derivatan för att motivera dina svar. Svarslängd: ca. 300 ord (En halv sida).
Skrivuppgift 2: *Tillämpa derivator i praktiken*
Skriv en rapport om hur derivator används i ett verkligt scenario, exempelvis i ekonomi eller naturvetenskap. Svarslängd: ca. 500 ord (En sida).
Skrivuppgift 3: *Jämföra funktioner*
Välj två olika funktioner och jämför deras derivator. Diskutera deras egenskaper, förändringshastigheter och eventuell extremvärdesanalys. Svarslängd: ca. 400 ord (En sida).
“`