“`html
Läxa
Årskurs: Gymnasiet
Ämne eller Kurs: Matematik 3c
Tema: Komplexa tal: avancerade begrepp
Ordkollen
Här listas tio ämnesord på läxans tema som är bra att känna till betydelsen av.
- Komplexa tal: Tal som består av en reell del och en imaginär del, uttryckt som a + bi där i är den imaginära enheten.
- Imaginär enhet: En matematiskt definierad enhet, i, där i² = -1.
- Absolutbelopp: Avståndet från origo till punkten i det komplexa talplanet, beräknat med |z| = √(a² + b²).
- Rektangulär form: Skrivs som a + bi där a och b är reella tal.
- Polär form: Skrivs som r(cos θ + i sin θ), där r är modulus och θ är argumentet.
- Konjugat: Ett komplext tal som får motsatt tecken på den imaginära delen, z* = a – bi.
- Polynomial: Ett uttryck av formen P(x) = a_n*x^n + … + a_1*x + a_0 där a är koefficienter och n är heltal.
- Faktorisering: Processen att skriva ett polynom som produkter av sina faktorer.
- Rotlösningar: Värden som gör att ett polynom är lika med noll.
- Funktionsrepresentation: Sättet att beskriva en funktion matematiskt, exempelvis genom ett polynom eller en graf.
Instuderingsfrågor
- Vad är definitionen av ett komplext tal?
- Hur beräknar man absolutbeloppet av ett komplext tal?
- Vad är skillnaden mellan rektangulär och polär form?
- Hur skriver man konjugatet av ett komplext tal?
- Vad innebär faktorisering av polynom?
- Ge exempel på hur man löser en polynomekvation.
- Hur representeras ett komplext tal på talplanet?
- Vad är skillnaden mellan ett reellt tal och ett komplext tal?
- Hur kan digitala verktyg användas för att lösa problem med komplexa tal?
- Vad innebär funktionernas argument i polär form?
Övning
Nedan listas uppgifter och fyra svarsalternativ. Du ska ringa in det alternativ som är korrekt. Observera att av de fyra alternativen är endast ett korrekt.
| Uppgift | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Vad är |3 + 4i|? | 5 | 7 | 3 | 4 |
| Kongugatan till 2 + 5i är? | -2 + 5i | 2 – 5i | -2 – 5i | 5 + 2i |
| Vilket av följande är en korrekt polär form av 1 + i? | √2(cos(π/4) + i sin(π/4)) | 1 + i | 2(cos(0) + i sin(0)) | √2(cos(0) + i sin(0)) |
| För vilket värde av b är 3 + bi ett reellt tal? | 0 | 1 | 3 | -1 |
| Vad är konjugatet av z = 4 – 3i? | 4 + 3i | -4 + 3i | -4 – 3i | 4 – 3i |
| Hur faktorisera man x² – 5x + 6? | (x – 2)(x – 3) | (x + 2)(x + 3) | (x – 3)(x + 3) | (x + 2)(x – 3) |
| Vad är absolutbeloppet av 5 + i? | √26 | 5 | 1 | √5 |
| Vad står i framför 6e^(2πi)? | 6 | 1 | -6 | 0 |
| Vad ger summan av 2 + 3i och 4 – i? | 6 + 2i | 2 + 6i | 6 + i | 2 + 7i |
| Vad är en lösning till ekvationen x² + 1 = 0? | 1i | -1i | ±i | B och C |
Skrivuppgifter
Skrivuppgift 1: *Enkel analys*
Beskriv i egna ord definieringen av komplexa tal och ge exempel på hur du kan använda dem i praktiska situationer. Svarslängd: ca. 300 ord (En halv sida).
Skrivuppgift 2: *Polära koordinator*
Redogör för skillnader mellan rektangulär och polär form av komplexa tal. Inkludera exempel. Svarslängd: ca. 500 ord (En sida).
Skrivuppgift 3: *Avancerad tillämpning*
Analysera ett komplext problem där du använder både rektangulära och polära former av komplexa tal för att lösa en ekvation. Ditt svar ska inkludera steg-för-steg-lösningar och grafiska representationer där det är relevant. Svarslängd: ca. 800 ord (2 sidor).
“`