Läxa: Matematik – Linjär algebra: Matriser och Determinanter
Årskurs: Gymnasiet
Ämne: Matematik – Linjär algebra: matriser och determinanter
Tema: Matriser och determinanter
Ordkollen
Här listas tio ämnesord på läxans tema som är bra att känna till betydelsen av.
- Matriser: Rektangulära tabeller av tal organiserade i rader och kolumner.
- Determinant: Ett tal som kan beräknas från en kvadratisk matris och som har viktiga egenskaper inom linjär algebra.
- Invers matris: En matris som, när den multipliceras med den ursprungliga matrisen, ger identitetsmatrisen.
- Identitetsmatris: En kvadratisk matris med 1:or på diagonalen och 0:or överallt annars.
- Radreducering: En metod för att förenkla matriser till reducerad trappstegsform.
- Trappstegsform: En matrisform där varje ledande element är till höger om ledande elementet i raden ovanför.
- Linjära ekvationssystem: Ett system av ekvationer där varje ekvation är linjär.
- Determinantberäkning: Processen att hitta determinanten av en matris.
- Egenvärde: Ett skalärt värde som representerar hur en matris sträcker eller vänt en vektor.
- Egenvektor: En vektor som endast skalar när en matris appliceras på den.
Instuderingsfrågor
- Vad är en matris?
- Hur beräknar man determinanten för en 2×2-matris?
- Vad innebär det att en matris är inverterbar?
- Beskriv identitetsmatrisens egenskaper.
- Vad är skillnaden mellan en trappstegsform och en reducerad trappstegsform?
- Hur kan radreducering användas för att lösa ett linjärt ekvationssystem?
- Vad är ett egenvärde och varför är det viktigt?
- Hur finner man inversen av en 3×3-matris?
- Vilka steg ingår i determinantberäkning för en 3×3-matris?
- Ge ett exempel på ett linjärt ekvationssystem och lös det med matrismetoden.
Övning
Nedan listas uppgifter och fyra svarsalternativ. Du ska ringa in det alternativ som är korrekt. Observera att av de fyra alternativen är endast ett korrekt.
| Beskrivning | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Determinanten för matrisen (begin{pmatrix}2 & 31 & 4end{pmatrix}) | 5 | 8 | 7 | 10 |
| Inversen till (begin{pmatrix}1 & 23 & 4end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}-2 & 11.5 & -0.5end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}4 & -2-3 & 1end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}-4 & 23 & -1end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}0.5 & -1-1.5 & 2end{pmatrix}) |
| Identitetsmatrisens storlek | 2×2 | 3×3 | Varierande beroende på sammanhang | 1×1 |
| Ett linjärt ekvationssystem med tre variabler kräver hur många ekvationer? | En | Två | Tre | Fyra |
| En matris i trappstegsform har vilka egenskaper? | Alla nollor | Ledande ettor i varje rad | Ledande element till vänster | Alla rader är identiska |
| Vilket av följande är ett egenvärde för matrisen (begin{pmatrix}2 & 0 & 3end{pmatrix})? | 2 | 5 | 1 | 4 |
| Radreducering används främst för att… | Beräkna determinanter | Lösa ekvationssystem | Hitta egenvektorer | Bestämma matrisens storlek |
| Vad är identitetsmatrisen för en 3×3-matris? | (begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}0 & 1 & 01 & 0 & 1 & 1 & 0end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}1 & 1 & 11 & 1 & 11 & 1 & 1end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2end{pmatrix}) |
| Vilket alternativ visar en trappstegsform? | (begin{pmatrix}1 & 2 & 1end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}1 & 23 & 4end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}0 & 11 & 0end{pmatrix}) | (begin{pmatrix}2 & 34 & 5end{pmatrix}) |
| Vad är värdet på determinant för en identitetsmatris? | 0 | 1 | -1 | Varierar beroende på storlek |
| En matris multiplicerad med sin invers ger… | Nollmatrisen | En matris med dubbla värden | Identitetsmatrisen | En diagonalmatris |
Skrivuppgifter
Här presenteras tre olika skrivuppgifter som är utformade på tre olika svårighetsnivåer: enkel, medel och svår.
Skrivuppgift 1: Beräkning av Determinant
Beskriv steg för steg hur du beräknar determinanten av en 3×3-matris. Ge ett konkret exempel och visa alla mellanliggande steg.
Svarslängd: ca. 250 ord (En halv sida)
Skrivuppgift 2: Lösning av Linjärt Ekvationssystem med Matrismetoden
Förklara hur man löser ett linjärt ekvationssystem med hjälp av matrismetoden. Använd följande ekationssystem som exempel och visa alla nödvändiga beräkningar:
[
begin{cases}
2x + 3y = 5
4x + 6y = 10
end{cases}
]
Svarslängd: ca. 350 ord (En halv till två tredjedelar sida)
Skrivuppgift 3: Egenvärden och Egenvektorer
Diskutera begreppet egenvärden och egenvektorer i sammanhanget av matriser. Varför är de viktiga inom linjär algebra? Ge ett exempel med en 2×2-matris där du beräknar dess egenvärden och egenvektorer.
Svarslängd: ca. 400 ord (Två sidor)