Läxa i Matematik – Andragradsekvationer och deras Rötter
Redogörelse
Årskurs: Åk. 7 – 9
Ämne: Matematik
Tema: Studera andragradsekvationer och deras rötter
Ordkollen
Här listas tio ämnesord på läxans tema som är bra att känna till betydelsen av.
- Andragradsekvation: En ekvation som kan skrivas på formen ax² + bx + c = 0, där a, b och c är konstanter och a ≠ 0.
- Rötter: De värden på x som gör att andragradsekvationen blir sann, dvs. lösningarna till ekvationen.
- Diskriminant: Uttrycket b² – 4ac i andragradsekvationen som avgör antalet och typen av rötter.
- Parabel: Grafen av en andragradsekvation, som är en U-formad kurva som kan vara öppen uppåt eller nedåt.
- Vertex (Toppunkt): Den högsta eller lägsta punkten på parabeln, beroende på om den är öppen uppåt eller nedåt.
- Faktorisering: Att uttrycka en andragradsekvation som en produkt av två första gradens faktorer.
- Kvadrafaktorsatsen: En metod för att lösa andragradsekvationer genom faktorisering.
- Komplettering till kvadrat: En metod för att skriva om en andragradsekvation i vertexform genom att lägga till och subtrahera ett lämpligt tal.
- Linjära ekvationer: Ekvationer av första graden, dvs. ekvationer där variabeln har exponenten 1.
- Polynom: Ett matematiskt uttryck bestående av variabler och koefficienter, kombinerade med operationer av addition, subtraktion och multiplikation.
Instuderingsfrågor
- Vad är standardformen för en andragradsekvation?
- Hur många reella rötter kan en andragradsekvation ha?
- Vad bestämmer diskriminanten i en andragradsekvation?
- Hur ser grafen av en andragradsekvation ut?
- Vad är vertexen i en parabel, och hur beräknar man den?
- Förklara vad faktorisering innebär i samband med andragradsekvationer.
- Hur använder man kvadratsatsen för att lösa en andragradsekvation?
- Vad innebär att fullborda kvadraten i en andragradsekvation?
- Ge ett exempel på en andragradsekvation med två reella rötter.
- Vad är skillnaden mellan ett polynom av första graden och ett av andra graden?
Övning
Nedan listas uppgifter och fyra svarsalternativ. Du ska ringa in det alternativ som är korrekt. Observera att av de fyra alternativen är endast ett korrekt.
| Uppgift | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| 1. Vilken är standardformen för en andragradsekvation? | ax + b = 0 | ax² + bx + c = 0 | a + b + c = 0 | a²x + b² = c |
| 2. Diskriminanten för ekvationen x² – 4x + 4 = 0 är: | 0 | 4 | 16 | -4 |
| 3. Om diskriminanten är positiv, hur många reella rötter har ekvationen? | Ingen | En | Två | Oändligt många |
| 4. Parabeln för ekvationen y = -x² + 6x – 5 öppnar sig: | Uppåt | Nedåt | Varken uppåt eller nedåt | Kan inte bestämmas |
| 5. Vertexen för ekvationen y = x² – 2x + 1 är: | (1, 0) | (1, 1) | (-1, 1) | (0, 1) |
| 6. Faktoriseringen av ekvationen x² – 9 = 0 är: | (x + 3)(x + 3) = 0 | (x – 3)(x – 3) = 0 | (x + 3)(x – 3) = 0 | (x² – 3)(x² + 3) = 0 |
| 7. Lös ekvationen x² + 6x + 9 = 0 med hjälp av kvadratsatsen. | x = -3 | x = 3 | x = -6 | x = 0 |
| 8. Komplettering till kvadrat av ekvationen y = x² + 4x + 1 ger: | y = (x + 2)² – 3 | y = (x – 2)² + 3 | y = (x + 4)² – 15 | y = (x + 1)² + 0 |
| 9. Antalet rötter för ekvationen x² + 1 = 0 är: | Två reella | En reell | Inga reella | Oändligt många |
| 10. Polynomet 3x² – 2x + 5 är av graden: | Första | Andra | Tredje | Fjärde |
Skrivuppgifter
Här presenteras tre olika skrivuppgifter som är utformade på tre olika svårighetsnivåer: enkel, medel och svår.
Skrivuppgift 1: Identifiera och Lös
Beskriv de grundläggande stegen för att lösa en andragradsekvation genom faktorisering. Ge ett exempel och lös det steg för steg.
Svarslängd: ca. 200 ord (En halv sida)
Skrivuppgift 2: Diskriminantens Betydelse
Förklara vad diskriminanten är och hur den påverkar antalet rötter i en andragradsekvation. Illustrera din förklaring med två olika ekvationer som har olika diskriminantvärden.
Svarslängd: ca. 300 ord (En halv till två tredjedelar sida)
Skrivuppgift 3: Parabelns Egenskaper
Analysera hur koefficienterna i andragradsekvationen påverkar parabelns form och position. Diskutera minst tre olika koefficienter och deras inverkan, samt ge exempel på ekvationer som visar dessa förändringar.
Svarslängd: ca. 400 ord (Två sidor)