Lektionsplanering

Årskurs: Gymnasiet
Ämne: Matematik 3B
Tema: System av differentialekvationer

Koppling till styrdokument

Centralt innehåll

Undervisningen ska fokusera på system av differentialekvationer, både linjära och icke-linjära, samt deras lösningar och tillämpningar inom olika vetenskapsområden. Eleverna kommer att lära sig att formulera och analysera dessa system samt förutsäga beteendet hos dynamiska system.

Kunskapskrav

Eleven kan formulera och lösa system av differentialekvationer. Eleven kan också tillämpa dessa kunskaper i praktiska situationer och analysera resultaten av sina modeller.

Lärarledda instruktioner

Introduktion till system av differentialekvationer (10 min)

Förklara vad ett system av differentialekvationer är och varför det är viktigt att studera sådana system.

Diskutera skillnaden mellan linjära och icke-linjära system och ge exempel på båda typerna.

Genomgång av linjära system av differentialekvationer (15 min)

Presentera metoder för att formulera och lösa linjära system av differentialekvationer med konstant koefficient.

Demonstrera med ett konkret exempel, exempelvis en population av predatorer och byten där deras förändring över tid beskrivs med ett linjärt system.

Tillämpningar av icke-linjära system (15 min)

Introducera icke-linjära system av differentialekvationer och förklara hur dessa kan beskriva mer komplexa fenomen, exempelvis ekosystemdynamik.

Diskutera metoder för att analysera stabiliteten i dessa system och hur man kan finna lösningarna, inklusive numeriska metoder.

Praktisk tillämpning och problemlösning (5 min)

Dela ut uppgifter där eleverna ska formulera och lösa ett system av differentialekvationer, både linjära och icke-linjära.

Eleverna ska arbeta i grupper för att diskutera sina lösningar och metoder.

Sammanfattning och frågor (5 min)

Sammanfatta lektionens centrala punkter med fokus på hur system av differentialekvationer används i praktiska tillämpningar.

Låt eleverna ställa frågor för att klargöra eventuella oklarheter.

Aktivitet

Eleverna får i uppdrag att analysera och lösa ett system av differentialekvationer relaterat till en verklig situation, som tillväxt av två konkurrerande populationer eller kemiska reaktioner i en förening. De ska presentera sina lösningar och diskutera resultaten samt eventuella antaganden som gjorts. Beräknad tidsåtgång: 20 minuter.

Exit-ticket

Vad är ett system av differentialekvationer?
Svar: Ett system av differentialekvationer består av två eller fler kopplade differentialekvationer som beskriver hur olika variabler förändras i förhållande till varandra.

Vad innebär det att ett system av differentialekvationer är linjärt?
Svar: Ett linjärt system har ekvationer där varje variabel har exponenten 1, och termerna är linjära i förhållande till dessa variabler.

Hur kan man analysera stabiliteten i ett icke-linjärt system?
Svar: Genom att undersöka jämviktspunkter och deras beteende genom metod som linjarisering eller analys av Lyapunvs kriterier.

Ge ett exempel på en praktisk tillämpning av system av differentialekvationer.
Svar: Används för att modellera predator-bytesförhållanden i ekologi, där båda populationernas förändringar påverkar varandra.

Hur kan system av differentialekvationer bidra till problemlösning?
Svar: De erbjuder en strukturerad metod för att fånga dynamiska relationer och interaktioner i komplexa system, vilket är avgörande i naturvetenskap och teknik.

Hemläxa

Eleverna ska skriva en rapport (300-400 ord) där de analyserar och löser ett system av differentialekvationer kopplade till en verklig situation. Rapporten ska innehålla en tydlig formulering av systemet, beräkningar och en tolkning av resultaten.

Fördjupningsuppgift

Eleverna ska välja en verklig situation som involverar ett system av differentialekvationer, utföra en grundlig analys av systemet, ge potenta modeller och lösa dem. De ska diskutera hur dessa modeller kan utvecklas, samt utvärdera vilka antaganden som kan påverka resultaten. Rapporten ska innehålla illustrationer, grafer och en djupgående diskussion.

Förslag för nästa lektion

Tillämpningar av numeriska metoder för differentialekvationer. I nästa lektion planeras en introduktion till numeriska metoder för att lösa differentialekvationer där analytiska lösningar är svåra att erhålla. Eleverna kommer att lära sig tekniker som Eulers metod och Runge-Kutta-metoden.

Förberedelser

Förbereda exempel och uppgifter på system av differentialekvationer.

Säkra tillgång till programvara för grafisk representation av differentialekvationer och deras lösningar.

Dela ut hemläxan med klara instruktioner och tidsramar.