Provkonstruktion
Årskurs: Gymnasiet
Ämne: Matematik 4
Tema: Derivatan av logaritmfunktioner
Syfte
Syftet med provet är att bedöma elevernas förståelse och förmåga att tillämpa derivatan av logaritmfunktioner, samt deras förmåga att analysera och lösa problem relaterade till dessa funktioner.
Koppling till styrdokument
Centralt innehåll
“Derivator av logaritmfunktioner och tillämpningar av dessa i praktiska problem, samt analyser av grafer och funktionsbeteenden.”
Kunskapskrav
Provet bygger på följande kunskapskrav:
- Beräkna derivatan av logaritmfunktioner.
- Tillämpa derivatans regler för att lösa praktiska problem.
- Analysera grafer av logaritmfunktioner och förstå sambandet mellan funktionens lutning och derivatan.
Prov
Faktafrågor
1. Vad är derivatan av funktionen f(x) = loga(x)?
A. 1 / (x ln(a))
B. ln(a) / x
C. x ln(a)
D. 1 / (x ln(a))
2. Vilken derivatregel används för att differentiera en sammansatt funktion?
A. Kedjeregeln
B. Produktregeln
C. Kvotregeln
D. Inversregeln
3. Vilket av följande uttryck beskriver derivatan av f(x) = ln(x)?
A. 1 / x
B. 1 / x
C. ln(x)
D. x ln(x)
4. Hur förändras lutningen på grafen av en logaritmfunktion när x ökar?
A. Lutningen avtar
B. Lutningen ökar
C. Lutningen förblir konstant
D. Det finns ingen lutning
5. Vad är derivatan av f(x) = log10(x^2)?
A. 2 / (x ln(10))
B. 2 / (x ln(10))
C. 1 / (x^2 ln(10))
D. 10 / x
6. Vilket av följande är ett praktiskt exempel där logaritmfunktioner används?
A. Beräkning av area
B. Befolkningstillväxt
C. Båda ovanstående
D. Ingen av ovanstående
7. Vad innebär det att en graf av en logaritmfunktion har ett horisontellt tangentlinje?
A. Funktionsvärdet är konstant
B. Derivatan är noll
C. Det finns ett extremvärde
D. Grafen förändras snabbt
8. Vilket av följande uttryck är en korrekt användning av produktregeln?
A. d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g'(x)
B. d/dx[f(x)g(x)] = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)
C. d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
D. d/dx[f(x)g(x)] = f(x)g(x)
9. Vad är derivatan av funktionen f(x) = ln(x^3)?
A. 3 / x
B. 1 / (3x)
C. 1 / x
D. x^2
10. Hur påverkar basen a i logaritmen loga(x) derivatan?
A. Den påverkar konstanten i derivatan
B. Den påverkar inte derivatan
C. Den påverkar endast grafens utseende
D. Den förändrar lagarna för derivation
11. Vad är skillnaden mellan ln(x) och log10(x)?
A. ln(x) = loge(x)
B. Båda är samma typ av funktion
C. Ingen skillnad
D. ln(x) används endast inom matematik
12. Vilket av följande påståenden om logaritmfunktionens graf är sant?
A. Den korsar y-axeln
B. Den har en vertikal asymptot vid x = 0
C. Den når aldrig negativa värden
D. Den är alltid stigande
13. Vad händer med funktionen f(x) = loga(x) när a ökar?
A. Grafen utvecklas åt vänster
B. Grafens lutning minskar
C. Grafens lutning ökar
D. Ingen förändring
14. Vad beskriver derivatan d/dx[loga(g(x))]?
A. Ändring i g(x)
B. Ändring av logaritmens funktion
C. Båda ovanstående
D. Ingen av ovanstående
15. Vilken funktion har en derivata av 1/(x ln(2))?
A. log10(2x)
B. log2(x)
C. ln(x)
D. x ln(x)
Resonerande frågor
1. Diskutera hur derivatan av logaritmfunktioner kan tillämpas för att förstå ekonomiska modeller. Syftet med frågan är att uppmuntra elever att koppla matematiken till verkligheten och utveckla analytisk förmåga.
2. Beskriv situationer där logaritmfunktioner ger en bättre modell än exponentiella funktioner. Här kan elever resonera kring skillnader och tillämpningar av olika typer av funktioner.
3. Analysera hur ändringar i logaritmfunktionens bas påverkar den allmänna lutningen av grafen. Denna fråga uppmanar till djupgående förståelse av hur basen i logaritmfunktionen påverkar dess egenskaper.
4. Utforska betydelsen av derivatans värde vid extrema punkter. Frågan ger möjlighet till diskussion om extrema värden och deras praktiska betydelse.
5. Hur kan kunskap om derivatan av logaritmfunktioner användas i verkliga tillväxtproblem? Eleverna bör kunna koppla teori till praktiska exempel för att styrka sina argument.
6. Resonera kring vikten av att förstå grafens lutning i förhållande till tillväxt och nedgång. Denna fråga ger insikt i ekonomi och naturvetenskapliga exempel.
7. Diskutera hur sambandet mellan derivatan och grafens växtbeteende är centralt inom matematik och fysik. Här fångas den breda betydelsen av derivatan genom olika discipliner.
8. Reflektera över varför kedjeregeln är viktig vid derivering av logaritmfunktioner. Eleverna kan diskutera sammansatta funktioners komplexitet och vikten av att förstå deras beteende.
Bedömning
Provet kan bedömas med totala punkter enligt följande:
- Faktafrågor: Varje fråga ger 1 poäng, totalt 15 poäng.
- Resonerande frågor: Varje fråga ger 2 poäng, totalt 16 poäng.
För att uppnå betyg:
- E: Minst 8 poäng (varav 2 poäng från resonerande frågor).
- C: Minst 12 poäng (varav 3 poäng från resonerande frågor).
- A: Minst 18 poäng (varav 5 poäng från resonerande frågor).