Lektionsplanering

Årskurs: Gymnasiet

Ämne: Matematik 3c

Tema: Derivata

Koppling till styrdokument

Centralt innehåll:

Inom ämnet matematik 3c omfattar det centrala innehållet bland annat funktioner, deras egenskaper och olika typer av derivata. Eleverna ska förstå vad derivatan är och hur den kan användas för att lösa problem inom olika områden, samt kunna tolka derivator grafiskt och i samband med förändringshastigheter.

Kunskapskrav:

Eleven kan använda matematiska metoder för att lösa problem. Eleven kan även göra enkla beräkningar med derivator och tolka resultatet av beräkningarna i praktiska sammanhang.

Lärarledda instruktioner

Introduktion till derivata (10 min)

• Presentera begreppet derivata och dess betydelse inom matematik och naturvetenskap.
• Använd grafiska exempel för att visa hur derivatan representerar lutningen av en tangentlinje till en funktion.
• Gå igenom grundläggande regler för hur man beräknar derivata, inklusive produktregeln, kedjeregeln och kvotregeln.

Grafisk tolkning av derivata (15 min)

• Visa hur man använder grafer för att förstå derivatans innebörd.
• Genomför en visning av hur derivatan kan visa på växt eller avtagande förändringshastighet.
• Diskutera exempel där derivatan kan användas för att finna maximala och minimala värden i praktiska problem.

Praktiska övningar (15 min)

• Låt eleverna lösa uppgifter i grupper där de beräknar derivator av olika funktioner.
• Gå igenom uppgifter där eleverna ska tolka resultatet av derivataberäkningarna i verkliga sammanhang.
• Uppmana eleverna att ställa frågor och diskutera eventuella svårigheter de har stött på.

Sammanfattning och reflektion (10 min)

• Sammanfatta vad som har lärts under lektionen och diskutera hur derivatan används i olika sammanhang.
• Be eleverna att ge exempel på hur derivata kan tillämpas i verkliga livet och i sina framtida studier.
• Avsluta med att förbereda eleverna på nästa lektion som kommer att innehålla tillämpning av derivata i integraler.

Aktivitet

Eleverna får i par arbeta med en uppgift där de ska beräkna derivatan av en given funktion och plotta dess graf för att se hur derivatan förändras över olika intervall. De ska också identifiera och diskutera eventuella maximala och minimala punkter. Aktiviteten syftar till att ge eleverna praktisk erfarenhet av att tillämpa derivator och se deras betydelse grafiskt.

Beräknad tidsåtgång: 20 minuter

Exit-ticket

• Vad beskriver derivatan av en funktion?
  Svar: Derivatan beskriver lutningen av tangentlinjen till funktionen vid en viss punkt.
• Vilka regler kan du använda för att beräkna derivata?
  Svar: Produktregeln, kvotregeln och kedjeregeln.
• Hur kan derivatan hjälpa till att identifiera max- och minpunkter?
  Svar: Genom att sätta derivatan lika med noll kan man hitta kritiska punkter där funktionen kan ha extremvärden.
• Vad innebär det att en funktion har en positiv derivata?
  Svar: Det innebär att funktionen ökar över det angivna intervallet.
• Ge ett exempel på en verklig tillämpning av derivata.
  Svar: Derivatan används i hastighetsberäkningar inom fysik för att beskriva hur snabbt något rör sig.

Hemläxa

Eleverna ska skriva en uppsats på 300-400 ord där de beskriver hur derivatan används inom ett område som intresserar dem, till exempel ekonomi, biologi eller teknik.

Fördjupningsuppgift

Eleverna ska undersöka en komplex funktion och beräkna derivatan, samt analysera dess graf. De ska dessutom hitta och motivera de maximala och minimala värdena av funktionen och diskutera deras betydelse i den kontext de valt att undersöka.

Förslag för nästa lektion

Tillämpning av derivata i integraler
I nästa lektion skulle vi kunna fokusera på hur derivata och integraler hänger ihop genom grundläggande teoremet om kalkyl. Det är relevant eftersom förståelsen för derivata är grunden för att kunna tillämpa integraler i praktiska problem. Vi kommer att undersöka sambandet mellan derivatan av en funktion och området under dess graf, vilket kopplar tillbaka till tidigare inlärning och ger en djupare förståelse för analys av funktioner.

Förberedelser

• Förbered grafiska exempel på funktioner och deras derivator.
• Skapa en uppsättning problem som eleverna kan arbeta med under praktiska övningar.
• Samla resurser, såsom datablad eller arbete i skapande av digitala grafer om eventuellt.